Ejercicios Resueltos Derivadas (Regla del Producto)

La regla del producto se define como la primera cantidad por la derivada de la segunda cantidad luego sumamos el producto de la segunda cantidad por la derivada de la primera cantidad.


1) y = x2(4x5 – 6) 
y’ = (x2)d/dx(4x5 – 6) + (4x5 – 6)d/dx(x2
y’ = (x2)(20x4) + (4x5 – 6)(2x) 
y’ = (20x6) + (8x6 – 12x)
y’ = 28x– 12x 

2) y = 3x3(2x2 +4x) 
y’ = (3x3)d/dx(2x2 +4x) + (2x2 +4x)d/dx(3x3)
y’ = (3x3)(4x + 4) + (2x2 +4x)(9x2)
y’ = 12x4 + 12x3 + 18x4 +36x3 
 y’ = 30x4 + 48x3

3) y = (x6 + 4x2) + (-2x+ 10)
y’ =(x6 + 4x2)d/dx(-2x+ 10) + (-2x+ 10)d/dx(x6 + 4x2)
 y’ =(x6 + 4x2)(-4x) + (-2x2+10)(6x5 + 8x)
 y’ =-4x7 – 16x– 12x7-16x3+ 60x+ 80x
  y’ = -16x7 + 60x-16x– 16x+ 80x


Tablas de verdad

tablas de verdad
Tablas de verdad


La conjunción es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas. Si existe al menos una proposición falsa entonces el resultado es falso. 
p q p Λ q
V V V
V F F
F V F
F F F


 La disyunción es verdadera si existe al menos una proposición que sea verdadera. Para que sea falsa tienen que ser todas las proposiciones falsas.
p q p  V  q
V V V
V F V
F V V
F F F


La condicional solo es falsa cuando la primera proposición es verdadera y la segunda es falsa. De lo contrario será siempre verdadera. 
p q p  → q
V V V
V F F
F V V
F F V


La bicondicional es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad,es decir, que sean ambas verdaderas o ambas falsas. Si las proposiciones tienen valores contrarios será falsa.
p q pq
V V V
V F F
F V F
F F V

Una proposición es un enunciado que tiene valor de verdad, es decir,que puede ser verdadero o falso. A continuacion nombraremos varias proposiciones con valor de verdad.

  • El sol sale de día.
  • La gravedad de la tierra es 6.4 metros sobre segundos cuadrados.


Si notamos ambos enunciados son proposiciones. La única diferencia que el primero tiene valor verdadero y el segundo es falso. 

Un enunciado es algo que no tiene valor de verdad. Nombremos algunos enunciados que no tienen valor de verdad. 

  • Hola!
  • Cómo te llamas?
  • Wao que sorpresa!
Ninguno de los enunciados mencionados arriba tienen valor de verdad por eso son los llamamos simplemente enunciados. 

Todas las proposiciones son enunciados, pero no todos los enunciados son proposiciones. Un enunciado se convierte en proposición cuando tiene valor de verdad.



Ejercicios Resueltos de Inecuaciones Lineales



Recordemos que siempre que dividimos o multiplicamos por un número negativo se cambia la posición del signo de mayor o menor que. 

Inecuación 1

2x  +  4  ≥ 24
2x    ≥  24 – 4
2x    ≥  20
x  C  20/2
x ≥  10

Inecuación 2

3(p + 1) ≤ -18
-3p – 3 ≤ -18
-3p  ≤ -18 + 3
-3p ≤ -15
≤ -15/-3
≥ 5  cambiamos la posición porque dividimos por un negativo.
Inecuación 3

4(-4 + x) > 56
16 – 4x > 56
-4x > 56 – 16
-4x > 40
x > 40/-4
x < -10  cambiamos la posición porque dividimos por un negativo.

Inecuación 4

-b – 2 > 8
-b  > 8 + 2
-b > 10
-b(-1) > 10(-1)
b < -10  cambiamos la posición porque multiplicamos por un negativo.

Inecuación 5

-7x + 7  ≥ -56
-7x   ≥ -56 – 7
-7x  ≥ -63
 -63/-7
  9 cambiamos la posición porque dividimos por un negativo.

Inecuación 6

-3(p – 27) ≥ 21
-3p + 81 ≥ 21
-3p   ≥ 21 – 81
-3p   ≥ -60
≥ -60/-3
≤ 20  cambiamos la posición porque dividimos por un negativo.  

Inecuación 7

-11x – 4 > -15
-11x > -15 + 4
-11x > -11
x > -11/-11
x < 1 cambiamos la posición porque dividimos por un negativo.  

Inecuación 8
-132 > 12(n + 9)
-132 > 12n + 108
-12n >  108 +132
-12n >  240
n > 240/-12
n < -20  cambiamos la posición porque dividimos por un negativo. 

Las inecuaciones lineales se resuelven igual que las ecuaciones lineales. La única diferencia es que intercambiamos el signo de igual (=) por (>)(<)(≥)(≤ )

Ejercicios Resueltos de Ecuaciones Lineales



Ecuación 1
5p – 14 = 8p + 4
5p – 8p = 4 + 14
-3p = 18
p = 18/-3
p = -6

Ecuación 2
4x – 4 = -9 + x
4x – x = -9 + 4
3x = -5
x = -5/3

Ecuación 3
-18 – 6x = 6(1 + 3x)
-18 – 6x = 6 + 18x
-6x – 18x = 6 + 18
-22x = 22
x = 22/-22
x = -1

Ecuación 4
5n + 34 = -2 (1- 7n)
5n + 34 = -2 + 14n
5n – 14n = -2 – 34
– 9n = -36
n = -36/-9
n= 4

Ecuación 5
-(1+ 7x) – (-7 – x) = 36
-1 – 7x + 7 + x = 36
-7x + x = 36 + 1
-6x = 37
x = 37/-6

Ecuación 6
-3(4x + 3)+ 4(6x + 1) = 43
-12x – 9 + 24x + 4 = 43
-12x + 24x = 43 – 4 +9
12x = 48
x = 48/12
x = 4 

Ecuación 7
10(x + 3) – (-9x – 4) = x – 5 +3
10x + 30 + 9x + 4 = x – 5 + 3
10x + 9x – x = -5 + 3 – 30 – 4 
18x = -36
x = -36/18
x = -2

Ecuación 8
-11 + 10(p + 10) = 4 – 5(2p + 11)
-11 + 10p + 100 = 4 – 10p – 55
10p + 10p = 4 – 55 – 100 +11
20p = -141
p = -141/20


Números enteros

numeros enteros
Números Enteros

Los números enteros son todos los números positivos y negativos, incluyendo el cero, y no incluyendo los decimales ni tampoco las fracciones. Es una recta numérica los negativos se encuentran en el lado izquierdo y los positivos en el lado derecho. Quedando el cero en el medio. El cero se considera como un elemento neutro, lo cual no lleva ningún signo, ni positivo ni negativo.

Propiedades del conjunto de los enteros

  • El conjunto de los números enteros es infinito.
  • El conjunto de los números enteros se representa con la letra Z. Ejemplo Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3..}
  • Entre dos números enteros no existe ningún número decimal ni fracción.
  • El conjunto de los números enteros es super -conjunto del conjunto de los números naturales. Es decir el conjunto de los números naturales es subconjunto del conjunto de los números enteros.
  • Mientras más a la izquierda se encuentra un número en la recta numérica, es más pequeño y los números van aumentando a medida que se encuentran más a la derecha. La recta numérica va desde menos infinito hasta infinito positivo.


Recta numérica
recta numerica
Recta Numérica


Con esto podemos decir que -1 es menor que cero -1 < 0. Cualquier número negativo es menor que cero.

Comparación de números enteros

-100 < 5
-100 < -99

Mientras más cerca está un número negativo del cero. Podemos decir que está en aumento. Con esto decimos que -100 es menor que -1. Es decir -1 es mayor que -100.

Ejercicios resueltos de comparación de números enteros.

-14 > -18
0 > -1
-2 < 4
-13 < 5
-100000 < -5
99 > -105
15 < 16
18 > 5
-27 > -36

Los números negativos representan deudas, descensos, pérdidas, compras. Ejemplos

  • Tengo una deuda de $5 pesos, se representa con (-5)
  • El avión descendió 10,000 millas, se representa con (-10,000)
  • Saque de mi cuenta 120,000 pesos, se representa con (-120,000)
  • Compré unos zapatos en $3,500 pesos, se representa con (-3,500)


Los números positivos representan ganancia, ascensos, aumentos, pagos que te hayan realizado, depósitos, ect. Ejemplos

  • Deposité en mi cuenta de ahorros $15,000 pesos, se representa con (+15,000)
  • El carro aumentó su velocidad en 35km/h, se representa con (+35)
  • El hombre subió 6 pisos por encima del que estaba, se representa con (+6)
  • Me pagaron 13,000 pesos, se representa con (+13,000)


Los números enteros son de gran importancia para el individuo, por eso lo recibimos en los primeros niveles básicos. Es importante tomar los números enteros y sus operaciones en serio. Ya que de ahí depende nuestro éxito en las matemáticas en los siguientes niveles. También para hacer un uso correcto de la ley de los signos. 

Como estudiante siempre te encontrarás con los números enteros y la ley de los signos. Es importante entenderlos ahora, sino crecerás con lagunas, y necesitarás usar siempre la calculadora, lo cual no recomiendo. Solamente para hacer cálculos grandes, y en niveles más altos para ahorrar tiempo. Solo recomiendo el uso de la calculadora de esta forma para hacer cálculos grandes. Ya que los signos debes manejarlos como que 2+2 = 4.

Teorema de pitagoras


El teorema de pitágoras establece que la suma de los catetos al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado. Siendo la hipotenusa el lado de mayor dimensión y los catetos los lados restantes en un triángulo rectángulo. El teorema de pitágoras nos ayuda a encontrar las dimensiones en un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquel que tiene al menos un ángulo de 90 grados. Si el triángulo no posee ningún ángulo que mida 90 grados, no podemos usar el teorema de pitágoras para encontrar sus lados. En estos casos se utilizan otros métodos como la ley del seno y la ley del coseno.


 Para triángulos obtusángulos  y acutángulos es decir ángulos que ningunos de sus grados mide 90. Usamos la ley del seno y la ley del coseno.

 Cuando hablamos que la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los catetos al cuadrado nos referimos a la fórmula

H2= C2 + C2

  _______
H=√  C2 + C2 

En la mayoría de los casos la hipotenusa se le llama con la letra “h” y los catetos la letra “c”. Otros libros prefieren usar las letras abc siendo la hipotenusa la letra c y los catetos a y b. No tengas miedo al confundirte. Si te aprendes la fórmula todo será fácil.

Para encontrar la hipotenusa sacamos la raíz de la suma de los Cateto al cuadrado.
  _______
H=√  C2 + C2 

Para encontrar un cateto sacamos la diferencia de la hipotenusa al cuadrado menos el otro cateto.
  _______
C=√  H2 – C2 

Aquí les dejo un video sobre el teorema de Pitágoras. Todo lo que tienes que saber para encontrar la hipotenusa y los catetos en un triangulo rectángulo. 

Números Decimales

Números decimales

numeros decimales
Números Decimales
Los números decimales pertenecen al conjunto de los números racionales (Q), que a su vez están dentro del conjunto de los números reales (R). Los números decimales se utilizan para representar cantidades no enteras y fraccionarias. También nos ayudan a entender cantidad muy pequeñas. Por ejemplo  si decimos que nos comemos una pizza y media 1 ½. También podemos decir que nos comimos 1.5 pizza, aunque en nuestro diario vivir nunca nos expresamos así, sino mas bien en forma fraccionaria es más común decir, me comí una pizza y media.  El número uno representan la cantidad entera, es decir una pizza completa y el cinco representa la cantidad decimal o fracción. Los números decimales ayudan a entender situaciones de la vida cotidiana. Si una persona tiene el 1.98% de las acciones de una empresa, significa que esa persona tiene casi un 2% de las acciones de dicha empresa. Los números decimales nos ayudan aproximar cantidades que se encuentren entre cero y uno.

Las partes de los números decimales son: cantidad entera y cantidad decimal. La cantidad entera se divide en unidad, decena, centena, unida de mil, ect. La cantidad decimal se divide en décimas, centésimas, milésimas, diez-milésimas, cien-milésimas, millonésimas, ect. Siempre se lee de derecha a izquierda. Todo lo que esté después del punto representa la cantidad decimal. Algunos países utilizan la coma en vez del punto, pero es todo lo mismo.

Décimas: representan la parte decimal dividida por diez partes. Ejemplo 1.5, 2.6, 3.5, 45.6. El 6 y el 5 representan las décimas.

Centésimas: se les llama así porque representan las partes divididas sobre 100 y equivalen al segundo lugar de derecha a izquierda. Ejemplo 1.50, 1.60. El 50 y 60 son centésimas. 50 centésimas y 60 centésimas respectivamente.

Milésimas: Se dividen las partes entre 1000. Ejemplo 1.600, 4.500. sería un entero y 600 milésimas. Cuatro enteros y 500 milésimas.
Luego de esta continua diez milésimas, cien milésimas, millonésimas.

Como se leen los números decimales

0.5  cero enteros y cinco décimas.
1.50 un entero y cincuenta centésimas.
0.005 cero enteros y cinco milésimas.
22.58 veinte y dos enteros y cincuenta y ocho centésimas.
Cuando hay:

Una cifra después de la coma o el punto, se lee como décimas, 
Dos cifras después de la coma o el punto, se lee como centésimas, 
Tres cifras después de la coma o el punto, se lee como milésimas, 
Cuatro cifras después de la coma o el punto, se lee como diéz -milésimas, 
Cinco cifras después de la coma o el punto, se lee como Cien-milésimas, 
Seis cifras después de la coma o el punto, se lee como millonésimas. 

Ejemplo de cómo se leen los siguientes números decimales
1.5 un entero y cinco décimas.
1.50 un entero y cincuenta centésimas.
1.500 un entero y quinientas milésimas.
Podemos decir que 1.5 = 1.50 = 1.500


numeros decimales
Azul(parte entera)                2/10 = 0.2 décimas       7/100 = 0.07 centésimas


Al visualizar la imagen anterior verificamos que el cuadro azul representa la parte entera, el cuadro verde representa 2 dividido por 100 equivalente a dos décimas y el cuadro de color amarillos equivalente a 7 /100, igual a siete centésimas.


Mínimo Común Múltiplo

Mínimo común múltiplo es el múltiplo de menor cantidad que se repite entre varios números. Como su nombre lo indica es el múltiplo menor entre varios números. Los múltiplos de un número son factores o números que pueden dividir a dicho número. Encontrar los múltiplos de un número, es como hacer su tabla Encontramos los múltiplos de dos y cuatro.


2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20……
4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40…..

Si quisiéramos encontrar MCM de dos y cuatro escogemos el cuatro porque se repite en ambas filas. 

Encontrar el mínimo común múltiplo de los siguientes.

10, 60

Múltiplos de 10
10: 10, 20, 30, 40, 60, 70, 80, 90….

Múltiplos de 60
60: 60, 120, 180….   El mínimo común múltiplo es 60.

Un forma rápida de encontrar el mínimo común múltiplo (mcm) entre dos números, es verificar si podemos dividir el número mayor entre el menor. En el caso del ejercicio anterior verificamos que 60/10 = 6, en este caso no importa el resultado, solo nos interesa saber que es divisible, ya que la división no tiene residuo. Entonces podemos decir que el mcm de 60 y 10 es 60. Siempre escogemos el número mayor como nuestro mínimo común múltiplo. Veamos algunos ejemplos. 

El mcm de 10 y 5 es 10. Porque 10 es divisible por 5.

El mcm de 40 y 8 es 40. Porque 40 es divisible por 8.

El mcm de 4 y 2 es 4. Porque 4 es divisible por 2.

Esta forma solo se aplica cuando los números son divisibles.

Comparar Fracciones

Comparación de fracciones 

Significa identificar cual fracción tiene mayor valor decimal, o que fracción abarca mas espacio en una gráfica si es con gráficos. Es  decir que fracción es mayor que otra. Podemos comparar fracciones de varias maneras. Aquí les presento un método simple, que consiste en multiplicar en cruz, numerador1 por denominador2 y comparar con la multiplicación de denominador1 por numerador2. 


Ejemplo de comparación de dos fracciones.

Identifiquemos cual de estas dos fracciones es mayor.

Numerador1
Denominador1
     
Numerador2
Denominador2
2
4
     
1
7

Debemos multiplicar en cruz.
2
4
     
1
7
2(7)=14   4(1)=4
2
4
>
1
7

Comparar las fracciones 1/2 con 3/6

1
2
     
3
6

multiplicamos en cruz
                                          1(6) = 6   2(3) = 6

6 = 6
1
2
   =  
3
6

son fracciones equivalentes


Ordernar tres o mas fracciones

Para ordenar tres o mas fracciones lo podemos hacer encontrando el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de las fracciones a trabajar. Ejemplo si queremos ordenar las siguientes fracciones de menor a mayor.

3
8
    
2
4
   
1
24

Encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores 8,4 y 24 encontramos los múltiplos de cada uno:

8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40
24: 24, 48, 74…. 

El mínimo común múltiplo de 8, 4 y 24 es 24. Seleccionamos el primero que se repita en los tres.

Ahora debemos convertir cada fracción a su fracción equivalente que tenga denominador 24. Encontremos el equivalente de 3/8 con denominador 24

Busquemos un número que me convierta 3/8 con denominador 24
3 x 3
8 x 3
=
9
24

9/24 = 3/8 fracciones equivalentes


Ahora con  2/4 multipliquemos por 6 para que tenga denominador 24
2 x 6
4 x 6
=
12
24

2/4 = 12/24 fracciones equivalentes

En caso de la fracción 1/24 no necesitamos encontrar su equivalente, ya que tiene denominador 24.
Tenemos que organizar de menor a mayor. Enfocate en las tres fracciones de color verde que ya tienen el mismo denominador que es 24.

1
24
<
9
24
<
12
24
1
24
<
3
8
<
2
4

Operaciones con Fracciones

operaciones con fracciones
Operaciones con Fracciones
Las fracciones pertenecen al conjunto de los números racionales, que son todos aquellos números que se pueden expresar como un cociente. Una fracción es una porción de un número entero. Las operaciones con fracciones son: suma, resta, multiplicación y división. También existen otros tipos de operaciones con fracciones como encontrar fracciones equivalentes, comparación de fracciones y ordenar fracciones.

Al igual que los números naturales podemos realizar suma y resta de fracciones. Existen dos formas en que se presentan la suma y la resta de fracciones:

Suma y resta de fracciones con igual denominador

Se realizan las operaciones con los numeradores y el denominador se queda igual. Ejemplos:
4
5
+
2
5
=
4 + 2
5
=
6
5
7
7
6
7
=
7 – 6
7
=
1
7
6
11
+
8
11
2
11
=
6 + 8 – 2
11
=
12
11



Suma y resta de fracciones con diferente denominador

Existen varios métodos para sumar y restar fracciones: Aquí veremos una forma fácil. Si deseas aprender con más detalles te recomiendo pulsar suma de fracciones.
Numerador1
Denominador1
+
Numerador2
Denominador2
=


4
13
+
1
8
=
4(8) + 13(1)
13(8)
=
32 + 13
104
=
45
104

En el ejercicio anterior, estos fueron los pasos que realicé:
  1. Multipliqué ambos denominadores.
  2. Multipliqué en cruz numerador1 por denominador2 y denominador1 por numerador2.
  3. Sumé los números de arriba y obtuve 45.
  4. Luego se simplifica la fracción si es necesario.

Multiplicación de facciones. 
Se multiplica de manera paralela, numerador por numerador y denominador por denominador se vería así:

9
7
x
3
4
=
9 x 3
7 x 4
=
27
28

En el ejercicio anterior he multiplicado los numeradores y los denominadores. Si quieres aprender multiplicación de fracciones con más detalles y paso por paso. Entra en este enlace multiplica ción de fracciones.

División de fracciones

La división de fracciones no se realiza ninguna operación de división sino más bien se multiplica. Veamos un ejemplo:

14
6
÷
3
2
=
14
6
x
2
3
=
14 x 2
6 x 3
=
28
18


simplificamos dividiendo por 2 numerador y denominador

28
18
=
28 ÷ 2
18÷2
=
14
9

En el ejemplo anterior invertimos la segunda fracción y luego hacemos el proceso de multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador. Al final debemos siempre simplificar si es necesario.


Comparación de fracciones

Para comparar fracciones lo hacemos mediante gráficos, pero también existe una forma análoga de hacerlo que es multiplicando en cruz y el número  mayor indica el lado de la fraccion que es mayor. Veamos varios ejemplos

Ejemplo 1
2
5
<
3
4
2 x 4 < 3 x 5
8 < 15
Decimos que 3/4 es mayor que 2/5
Ejemplo 2
2
4
=
10
20
2 x 20 = 4 x 10
40 = 40 
Decimos que 2/4 y 10/20 son fracciones equivalentes

Ejemplo 3
4
6
>
3
8
4 x 8 > 6 x 3
32 > 18
Decimos que 4/6 es mayor que 10/20